중심차분법의 이산화기법

오늘은 중심 차분법의 이산화기법의 특성에 관하여 알아보자.

대류와 확산이 공존하는 문제에서 어떤 경우에는 위글과 같은 현상이 발생하여 중심 차분법이 실패하므로 이산화 기법의 특성에 대해 깊은 고찰이 필요하다. 이론적으로 격자수가 무한히 많으면 사용한 차분법과 상관없이 해석 결과는 수송 방정식의 엄밀해와 구별하기 어렵다. 하지만 실제 해석에서는 유한개의 격자를 사용하므로, 이산화 기법이 다음의 기본 특성을 가질 때만 해석 결과가 물리적으로 타당하다. 가장 중요한 특성들은 보존성, 유계성, 수송성이다.

먼저 보존성은 유한개의 검사 체적에 대해 대류-확산 방정식을 적분하면, 검사 체적 면을 통과하는 물리량 a의 플럭스를 포함한 일련의 이산화 보존 방정식을 얻는다. 풀고자 하는 계산영역 전체에 걸쳐 a의 보존을 보존하기 위해 임의의 면을 통해 검사 체적을 떠나는 a의 플럭스는 동일한 면을 통해 이웃 검사 체적으로 유입되는 a의 플럭스와 같아야 한다. 이를 위해 공통 면을 통한 플럭스는 이웃한 두 검사 체적 내에서 일관된 방법으로 표현되어야 한다.

일관성 없는 플럭스 보간 기법들은 전체 보존을 만족시키지 못하는 부적합한 방법이 된다.

이번에는 유계성에 대해 알아보도록 하자.

각 절점에서 유도한 이산화 방정식은 일련의 대수 방정식들로 표현된다. 일반적으로 큰 규모의 대수 방정식을 풀기 위해 반복적인 수치해법을 사용한다. 이 방법들은 처음에 물리량 a의 분포를 추정하고, 수렴된 해를 얻을 때까지 계속해서 a의 값을 갱신한다. 유계성은 소스 항이 없으면 물리량 a의 내부 절점 값이 경계 값의 범위 안에서 한정되어야 함을 의미한다. 또한, 이산화 방정식의 모든 계수가 동일한 부호를 가져야 한다. 이는 물리적으로 한 절점에서 물리량 a가 증가하면 이웃 절점에서 a가 증가해야 한다는 것을 의미한다. 만일 이산화 기법이 유계성 조건을 만족시키지 못하면, 해가 전혀 수렵하지 않거나 수렵해도 위글이 발생할 수 있다.

수송성에 대해서도 알아보도록 하자. 수송성은 임의의 점에 위치한 두 소스가 임의의 점 p의 a 값에 미치는 영향을 고려함으로써 설명이 가능하다, 다시 말하면 중심 차분법은 대류 및 확산 플럭스를 계산할 때 이웃 절점들이 절점 p에 미치는 영향을 모든 방향으로 고려한다. 즉, 유동 방향 및 확산과 대류의 상대 강도를 고려하지 않기 때문에 중심 차분법은 큰 값에서 수송성을 갖지 않는다.

 

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