Large Eddy Simulation(LES)를 위한 경계조건

오늘은 LES를 위한 초기 조건과 경계조건에 대해 알아보도록 하자.

LES 계산에서는 비정상 Navier-Stokes 방정식을 풀기 때문에 적절한 초기 조건과 더불어 경계조건들이 필요하다.

초기조건을 잡는 방법은 정상유동의 경우, 유동의 초기 상태는 정상상태에 도달할 때까지의 시간을 결정한다, 따라서 질량 보존을 만족하며 적절한 난류 레벨 혹은 스펙트럴 내용을 갖는 가우스의 무작위 변동이 포함된 것을 초기조건으로 설정한다. 만약 시간-종속적인 유동의 전개가 초기 상태에 따라 달라진다면 초기조건은 보다 정확하게 지정할 필요가 있다.

 

벽면 조건의 경우, 만약 LES를 필터링한 Navier-Stokes 방정식을 벽면까지 적분한다면 점착 조건이 적용되며, y+<1의 영역에서 보다 세밀한 격자가 필요하다. 얇은 경계층이 존재하는 고 레이놀즈수 유동의 경우 불균일 격자 계를 사용하는 것이 경제적이다. 그 대안으로 벽 함수를 사용하는 것도 가능하다. Schumann은 변동하는 전단응력이 벽에 나란한 변동 속도와 같은 위상을 보이는 것으로 가정하고 로그 벽 함수를 통해 전단응력을 순간 속도와 연계시키는 모델을 제안하였다. Moin은 그의 벽 인접 RANS 혼합길이 모델에서 von Karman의 비례상수 k를 동적으로 계산하는 개선된 방법에 대해 리뷰하였다. 이렇게 하면 과도한 전단응력의 분포를 피할 수 있다.

유입 경계조건의 설정은 매우 도전적인 과제인데, 그것은 유입 유동의 변수가 대류 작용으로 하류로 흘러가기 때문에 유입 경계조건을 부정확하게 설정하면 수치해석 결과의 질에 상당한 영향을 미치기 때문이다. 가장 단순한 방법은 실험으로 측정한 평균 속도 분포에다가 난류 강도를 정확히 맞춘 가우스 무작위 섭동을 합쳐서 설정하는 방법이 있다. 그러나 이 방법은 실제의 난류 유동에서 속도 성분과 2점 상관과의 교차상관을 무시한다. 난류 비틀림 이후 평균 유동이 난류 변수와 평형을 이루기까지는 상당한 정착 거리를 필요로 한다. 그리고 정착길이는 문제에 따라 달라진다. 여기에 몇 가지 대안이 가능하다.

1. 문제의 올바른 기하학적 형상에 대해 RANS 난류 모델로 유입 유동을 계산하는 방법. 가장 흔한 방법은 유입 면에서 모든 레이놀즈 응력을 추정하기 위해 RSM으로 비정상 유동을 계산하는 일이다. 이때 가우스 무작위 섭동의 생성 시에 자기상관과 교차상관의 값이 올바르게 되도록 한다.

2. 계산영역을 좀 더 상류까지 연장하고 난류 없는 유입류를 가정한다. 이것은 상류 길이가 무척 길 필요가 있는데, 전형적으로 수력 직경의 50배 정도의 오더만큼 길게 하여 충분히 발달한 흐름이 되도록 해야 한다. 유입류의 경계층이 얇은 조건에서는 이것이 가능하다.

3. 출발 유동으로서 복잡한 형상의 내부 유동의 경우에는 충분히 발달한 흐름을 입구에 설정한다.

 

유출 경계조건은 더욱 수월하다. 평균 유동에 대해서는 잘 알려진 의 구배 경계조건을 주면 된다.

 모든 LES와 DNS 계산은 3차원 적이다. 왜냐하면 난류는 3차원 적이기 때문이다. 주기적 경계조건은 특별히 평균 유동이 균질한 방향으로 유용하게 적용된다. 모든 변수가 주기적 경계로 지정된 한 쌍의 경계상의 각 점에서 서로 같은 값으로 설정된다. 두 개의 주기 경계 사이의 거리는 한 쌍의 주기 경계상의 모든 점에서 2점 상관이 0이 되도록 정해야 한다. 이것이 의미하는 바는 적어도 가장 큰 에디 사이즈의 두 배 이상이 되도록 그 거리를 선택하여서 한 경계가 다른 경계에 미치는 효과가 최소가 되도록 해야 한다는 것이다.