차원해석과 상사칙에 대해

오늘은 차원해석과 상사칙에 대해 조금 더 자세히 알아보겠다.

흐름의 물리적 현상을 해석하거나 유체 기기의 개발을 할 때, 관련되는 흐름을 이론적 또는 실험적인 방법에 의하여 조사할 필요가 있다. 이때 중요하게 나타나는 변수들을 무차원수로 조합하면 문제에서 제기되는 변수의 수를 줄일 수 있으며, 이 흐름과 상사인 모든 문제에 적용할 수 있는 결과를 얻을 수 있다.
이러한 문제는 일반적으로 유체역학적 이론에 기초하여 흐름의 지배방정식을 풀어서 해결한다. 그러나 공학적으로 요구되는 흐름은 대부분의 경우, 이론해를 얻기에 용이하지 않다. 따라서 모형시험에 의한 실험적 방법이 이용되어 왔다. 
모형실험에서는 원형보다 작은 치수의 모형이 이용되며, 유속이나 유체의 물성치 등의 실험조건도 다른 것이 보통이다.
따라서 모형시험이 얻어진 결과로부터 원형의 유동 현상을 올바로 추정하기 위해서는 물리적인 고찰이 필요하다. 이때 중요한 역할을 하는 것이 유동 현상을 지배하는 무차원 변수이다. 또 무차원 변수와 같은 의미로 무차원수, 무차원량이 이용되는 경우도 있다. 이러한 무차원수를 이용하면 실험 횟수를 줄일 수 있으며 실험이 효율적이다. 또 지배방정식의 물리적 해석이 보다 명확해진다. 이 무차원수는 일반적으로 차원해석에 의하여 얻어지는데, 흐름을 지배하는 운동 방정식을 알고 있는 경우에는 그 식을 무차원화하여 바로 얻을 수 있다. 이 장에서는 차원 해석법 중 대표적인 버킹엄의 파이 정리, 유동 현상에 관련한 무차원수에 관해 기술하고, 그 응용에 필요한 상사칙에 대해 설명하고자 한다.

차원의 동차성
차원해석은 복잡한 공학 문제는 해석할 때 유용하며, 물리적 현상은 물리적 차원의 함수로 표시하여 방정식을 무차원 함수로 나타낼 수 있다. 이때 필요한 물리량은 정의 또는 물리법칙에 의하여 기본량(역학에 있어서는 질량 M, 길이 L, 시간 T의 3가지)을 조합함으로써 나타낼 수 있다.

차원해석과 파이 정리
유체의 흐름에 관련된 현상은 보통 여러 변수에 의하여 지배되며, 이것은 운동방정식을 이용하여 해석될 수 없는 경우에 이들 변수 각각의 영향을 조사하기 위해서는 큰 노력이 필요하다. 
물리법칙을 기술하는 관계식에 대하여 차원의 동차성에 대한 고찰, 즉 차원해석에 의하여 이들의 몇 개의 변수의 조합인 무차원수들 사이의 관계로써 나타내어 문제에 대한 예측을 할 수 있다.
이러한 차원해석의 방법 중에서 버킹엄의 파이 정리에 대해 설명하고자 한다.
버킹엄의 파이 정리는 n개의 물리량을 포함하고, m개(역학에서는 M,L,T 3개)개의 기본량을 갖는 물리적 문제에 있어서, 이들 n개의 물리량은 n-m개의 독립 무차원수로 대치할 수 있으며, 이들 무차원수로 기술할 수 있다는 것을 말한다. 
임의의 문제에 있어서 압력, 점성계수, 소고 등과 같이 물리량을 A1, A2, …An이라 할 때 해를 구하기 위해 해의 본질이 되는 물리량을 알아야 한다. 

무차원수 파이를 만드는 방법은 하기와 같다,
1. 물리량 중에서도 서로 다른 차원을 갖는 m개의 물리량을 선택하여 반복변수로 소용한다.
2. 반복변수와 나머지 물리량 중 1개를 결합하여 하나의 무차원수를 구한다.
이렇게 하여 얻은 무차원수 파이는 필요에 따라 적당한 상수를 곱하기도 하고, 서로 곱하거나 나누기도 하며 평방근이나 역수를 취해도 된다.