파스칼의 원리 및 베르누이의 법칙

이번 글에서는 유체역학에서 기본이 되는 파스칼의 원리 및 베르누이 법칙에 대해서 알아보도록 하겠다.

1. 파스칼의 원리

먼저 파스칼의 원리는 프랑스 수학자인 블레즈 파스칼에 의해 정리가 되었다.
밀폐된 공간 속에서 비압축성 유체의 특정 부분에서 가해지는 압력의 변화가 유체의 다른 부분에 그 힘 그대로 전달된다는 것이 기본 원리이다.

조금 더 파고들면, 파스칼의 원리라는 것은 밀폐된 공간에 저장된 액체가 점성과 압축성을 완전히 무시한 액체(비압축성 액체)면, 그 액체의 압력분포는 서로 동일하게 나타나게 된다. 또한, 액체의 특정 부분에 가해지는 힘(압력)은 그 크기와 관계없이 액체의 모든 부분에 골고루 전파된다는 정의를 가지고 있는 법칙을 뜻한다.

 

이 파스칼의 원리가 가장 많이 사용되는 장비는 피스톤으로, 구동 원리는 다음과 같다.
피스톤과 피스톤 사이의 연결부를 유체로 가득 차 있다고 가정하면, 이장비는 파스칼의 원리로 인해 두 피스톤 사이에 나타나는 힘(압력)은 같다.
만약, 두 피스톤의 면적이 서로 다를 경우, 받는 면적이 달라져서, 피스톤에 작용하는 힘의 크기가 달라진다. 그 비율은 힘/면적(N/m2)으로 나타나게 되며, 이는 압력의 단위로 표현된다.

 

처음에 말했던 힘(압력)이 유체가 가득 차 있을 때, 동일하게 전파된다는 말을 헷갈려서는 안 된다.
유체의 압력은 깊이에 따라 달라지는 특성을 가지고 있으므로, 동일 깊이에서의 힘이 같다는 것뿐이다. 따라서, 모든 지점에서의 힘이 동일하게 나타나는 것은 아니다.
파스칼의 원리에서 표현하고자 했던 것은 외력에 의해 압력이 변화한다는 것이다.
파스칼의 원리를 주로 사용하는 사례는 아까 말한 피스톤과 자동차 브레이크에서도 주로 사용된다.
주행 중 속도를 줄이고 싶어 브레이크를 밟으면, 그 밟는 힘으로 인해 내부 압력이 높아지게 된다. 그 압력은 네 바퀴에 균등한 힘이 전달되어, 안전하게 속도를 줄일 수 있다.

2. 베르누이의 정리

베르누이 정리는 베르누이 방정식으로 표현된다. 베르누이 방정식은 유체의 속도 및 압력, 그리고 위치에너지의 관계를 표현한 공식으로, 다니엘 베르누이가 발표하였다.
베르누이 방정식은 모든 형태의 에너지의 합은 흐르고 있는 유체의 유선상에서 항상 일정하다는 것을 표현하고 있다.
완벽한 것 같은 베르누이 방정식은 몇 가지 가정이 존재한다. 그에 따라, 가정이 틀어지게 되면 베르누이 방정식에 적용이 불가능한데, 그 가정은 다음과 같다.
먼저, 베르누이 방정식은 비압축성 유동에만 가능하다. 현재 존재하는 대부분의 액체는 밀도가 일정하다고 생각할 수 있으므로, 비압축성으로 판단할 수 있다. 기체의 경우에는 속도가 느려, 밀도의 변화가 미소하다는 경우에 비압축성으로 판단할 수 있다.

 

베르누이 방정식의 가정은 하기와 같다.

1. 유체는 비압축성이어야 한다.

2. 유체에서 점성이 존재하면 안 된다.

3. 정상상태여야만 한다. (시간에 변화하면 안 된다.)

4. 하나의 유선에서의 총에너지는 일정하다.

5. 유선이 경계층을 지나가면 안 된다.

6. 외부와의 에너지 교환이 있어서는 안 된다.

베르누이 방정식의 공식을 살펴보면, 속도의 제곱과 압력은 선형적이다. 하지만 현실에서는 속도가 낮을 경우에는 이 관계가 성립하지만, 속도가 높으면 성립하지 않는다. 또한, 액체의 경우에는 속도가 높아지면, 캐비테이션(공동현상)과 같은 신형이 아닌 비선형 과정이 나타난다. 그리고, 기체의 경우에는 속도가 빨라지면, 밀도가 달라지므로, 밀도가 일정하다는 가정이 성립되지 않는다.
또한, 특정 유속에서는 압력이 0 또는 음수가 되는 것처럼 표현되기도 하는데, 실제로는 음수의 압력은 있을 수 없으며, 압력이 0되기 전부터 베르누이 방정식은 적용이 되지 않는다.
베르누이 방정식을 단순화 시켜보면,

정압력+동압력=전압력으로 표현된다.

 

이때, 동압력은 흐름의 속도에 관계되는 압력으로, 현실에서의 유동상에서는 굉장히 작은 경우가 많다.
또한 정압력은 우리가 흔히 말하는 압력으로 생각하면 된다.
다시 말해, 베르누이 방정식은 한 개의 유선상에서 전압력은 일정하다는 정의를 할 수 있다.
그리고 유동이 한 곳에서 출발했으면, 그 유동에 한해서, 모든 점에서의 전압력은 일정하다고 볼 수 있다. 그러나, 아까 언급했듯이, 베르누이 방정식은 경계층 안에서는 적용이 되지 않는다는 것을 항상 기억하고 있어야 한다.

베르누이 방정식을 실제로 적용한 예는 대표적으로 비행기에서의 날개가 있다.
비행기가 날 수 있는 힘을 양력이라고 한다. 양력이 발생하도록 하는 데에는 베르누이 방정식의 힘이 컸다.
비행기의 날개를 중간 부분에서 잘라서, 날개의 단면을 확인해보면, 날개의 하부 부분은 직선이며, 상부 부분은 곡선인데, 비행기가 출발할 떄, 상부 부분에서 흐르는 공기는 코안다 효과로 인해 날개의 형상에 맞게 곡면으로 흐르게 된다. 그에 따라, 공기의 이동 거리가 향상되고, 그 영향으로 속도는 빨라지게 된다.
이때, 베르누이 방정식에 따라 유체의 속도가 빨라지면, 압력이 낮아지게 되는 효과가 발생한다. 따라서 속도가 빠른 날개의 상부 부분은 압력이 낮게 되고, 상대적으로 하부 부분은 압력이 높아지게 된다. 유체는 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하려는 특징이 있어, 비행기가 공중으로 뜨게 되는 것이다. 또한, 다른 예로는 분무기 등등 생활에 밀접한 것들도 다수 있다.

이런 여러 가지 법칙들이 우리가 살아가는 현실에 존재하고 있다.
따라서, 우리는 이런 것들을 배우며, 이용해야 하는 것이다.